快速幂算法详解

前言

首先考虑这么一个问题

给定三个正整数 a, b, m（a < $10^9$，b < $10^9$，1 < m < $10^9$），求 $a^b$ % m。

对于这个问题，只要写一个简单的循环就能够搞定

// 普通求幂
long long QuickPow(long long a, long long b, long long m) {
    long long ans = 1;
    for (int i = 0; i < b; i++) {
        ans = ans * a % m;
    }
    return ans;
}

然而，当 a, b 到达一定值时，最终的结果会非常大，对于这个问题，O(b)的时间复杂度很难进行。

快速幂算法

快速幂，就是用效率更高（时间复杂度更低）的方法求幂，可以将时间复杂度优化至 O(logn)

递归快速幂

快速幂算法的关键在于对指数 b 的处理，我们很容易得到如下事实：

若 b 为奇数，则$a^b=a\times a^{b-1}$

若 b 为偶数，则$a^b=a^{b/2}\times a^{b/2}$

举个例子，求 $2^7$：

1. 由于 7 为奇数，因此有 $2^7 = 2 \times 2^6$
2. 由于 6 为偶数，因此有 $2^6$ = $2^3 \times 2^3$
3. 由于 3 为奇数，因此有 $2^3$ = $2 \times 2^2$
4. 由于 2 为偶数，因此有 $2^2$ = $2^1 \times 2^1$
5. 由于 1 为奇数，因此有 $2^1$ = $2 \times 2^0$
6. 最后 $2^0=1$，然后从下往上计算即可

根据上面的方程，很容易通过二分的思想得到快速幂算法的递归版本

// 快速幂，递归写法
long long QuickPow(long long a, long long b, long long m) {
    if (b == 0) return 1;
    if (b % 2 == 1)  // 如果 b 为奇数，转化为 b - 1
        return a * QuickPow(a, b - 1, m) % m;
    else {  // 如果 b 为偶数，转化为 b / 2
        long long mul = QuickPow(a, b / 2, m);
        return mul * mul % m;
    }
}

迭代快速幂

下面说明一下快速幂的迭代写法

同样的，主要还是在指数 b 的处理，以 $2^{10}$ 为例

$$10=\left( 1010 \right) _2=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0$$

$$2^{10}=2^{1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0}=2^{8+0+2+0}=2^8\times 2^2$$

可以发现，$2^{10}$ 可以表示为 $2^8$ 和 $2^2$ 的乘积。

同样的对 $a^b$ 进行推广，我们可以把 $a^b$ 表示成 $a^{2^{k}}$，$a^{2^{k-1}}$，…，$a^8$，$a^4$，$a^2$，$a^1$中若干项的乘积，即：

$$a^b=a^{c_k\cdot 2^k}\times a^{c_{k-1}\cdot 2^{k-1}}\times \cdots \times a^{c_3\cdot 8}\times a^{c_2\cdot 4}\times a^{c_1\cdot 2}\times a^{c_0\cdot 1}$$

具体来说，枚举指数 b 的每一位，若当前位为 1，则结果累计 $a^{2^{i}}$

举例如下

a	n(binary)	ans
2(1)2	1010	1
2(10)2	101	2(10)2
2(100)2	10	2(10)2
2(1000)2	1	2(10)2 * 2(1000)2

具体代码实现如下：

// 快速幂，迭代写法
long long QuickPow(long long a, long long b, long long m) {
    long long ans = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {            // 若 b 的二进制末尾为 1（也可以写成 if(b % 2)）
            ans = ans * a % m;  // ans 累加上 a
        }
        a = a * a % m;  // a取平方
        b >>= 1;        // b 的二进制右移一位（也可以写成 b /= 2）
    }
    return ans;
}